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单墫:数学学习与解题

发布时间:2018-02-26 点击数: 字号:- 小 + 大【收藏】【打印文章】

单墫:数学学习与解题

单墫教授简介

单墫,1943年11月生,数学家,数学教育家,教授,博士生导师,我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。1983年获理科博士学位(我国首批18名博士之一),1991年当选全国“优秀教师”,1991年7月起享受政府特殊津贴,1992年评为国家有突出贡献的中青年专家。曾任南京师范大学数学系主任,南京数学学会理事长,中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长,国家教委理科试验理专家组组长。1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练,1990年作为领队,率队参赛IMO均获总分第一。代表作“单墫解题研究丛书”,包括《解题研究》《解题漫谈》《我怎样解题》《数学竞赛研究教程》等。

 

谈数学学习

说实话,小时候我自己对数学并不是太上心,我其实更喜欢文史一些。喜欢看小说,看历史上的东西。那时候觉得数学好像没什么用,就是觉得比较容易。我小时候喜欢玩,下棋,比如象棋、军棋,那时候没有围棋,围棋那时候不普及,还有打扑克牌、牌九。其实我小的时候就是喜欢玩,数学也没花什么功夫,那时候也不像现在,要学这么多奥数。


我在小学的时候做算术应用题有个特点,老师那时候都要求解应用题要分开写几个式子,但是我基本上从头到尾就写一个式子。因为那时候数学学得不错,脑子转的很快,所以可以就写一个式子。 


当时小学数学比较容易,初中也学的很少。像平面几何,我们初中都不学相似,相似是在高中才学的,用的是苏联教材,但教材体系比较严谨。我觉得那时候初中对平面几何的表达都要求比较严格。我们做平面几何都要求打草稿的,我语文作文都不打草稿,但是做平面几何是要打一个草稿,然后再写上去。我们老师要求非常严格,他打个差都是打对角线的那种大差。他个子也高,嗓门也大,一叫大家都吓一跳,很认真、很严肃。但是初中数学那时确实不是很难,不过我们都觉得很有意思。好就好在不是很难,都是因为兴趣、喜欢,思维要求也不超过我们那时候学生的水平,学生只要努力就能达到了,要是太难的学生就该没有兴趣了。


到了高一稍微花了一点功夫,当时平面几何书是线装本的,刚发下来老师还没讲我就把题目都做了一遍。那个教材习题比较多,还是不错的。现在的教材也有这个特点,习题比较多。我那时就是喜欢自己看看书,主要还是因为有兴趣。我们那时候书看的也不多,平面几何好不容易有一本李俨的《近世几何学初编》,不过排版的错误非常多。后来有一个同学买了一本邱丕荣的《近世几何学》,大家当了宝贝,那个书相当好了,但也就只有平面几何而已,现在来看眼界非常浅,那时没看到过现在许多东西。我们那时候还组织了一个数学小组,叫FSTY,四个同学一起做《数学通报》上的题目。FSTY其实就是每个人的姓氏首字母。其实我们那时候就是觉得做数学题很好玩,也没有说特别懂什么的,都是自己感觉兴趣。但水平也就如此而已,那时候书也少,偶尔看几本书或者小册子,也没有看得太懂。那时候就喜欢玩儿,可是好玩的东西也少,下下棋啊,书也少。


上高中那会儿,我哥哥比我高两个年级,他是南京师范大学数学系的,所以有时候我就看看他的书。他到大学就学微积分了,我也拿他的书来看看,就是也看看微积分,比较浅的也看了一些。那时候我还在上中学,可能看的最花功夫的一本书是高扬芝的《极限浅说》,她是南京师范大学早期的系主任,一位女教授。说老实话,那本《极限浅说》写的一点都不浅,书中什么都要证的,而且印刷错误非常的多,真的看得头疼得要死,但是不管怎么说总想要看下来,确实觉得我看书的能力还是有的,坚持下来以后,后来看书不觉得吃力,就是说自学的能力还是有提高的,自己能看书了。


后来接触到的微积分教材比较严谨,我们大概在高三也看了。上大学以前我也看过,就是自学过一些东西。好像数学是看那些书,乱看看,也没有什么计划,我哥哥买了些书他看,我跟着他看,其他的真是没怎么用过功。

但是像我这样不用功的也少,我上课净是在胡思乱想,很少听课,常常上课做作业,在学校时就偷偷的做,放学时就做完了。那时候应该说课程比较轻松,相对来说比较容易,跟现在不好比,现在中学学的内容太多。我的小测验成绩往往不大好,数学可能好些,可以做出几道题,总归就是不非常用功,那时候不懂得用功。

谈数学解题

解题能力的话应该说也是要锻炼的。我在中国科学技术大学上研究生时,同宿舍的有肖刚和李克正,他们的解题能力都很强。因为我“文革”前就教书了,他们那时候都还是学生,所以中学这块儿知识我觉得我还是很强的,就是做题能力很好,但是跟他们一比却不高。他们有很好的想法,而且思路很活,跟他们学到不少的东西。刚开始大家一起做题,做美国的大学生竞赛题,确实收获很大,他们思维很开阔,跟这两个人学到很多东西。他们对我的影响很大,解题方面的能力提高很多。你跟一个高手在一起切磋才会有很大的进步,就跟下棋一样,你跟一个下得好的一起下,很容易提高。

 

我还在解题上有个心得,就是总希望把题解得更好点,那就需要在做完以好好总结下。在解题这方面波利亚的几本书是相当好的,如《怎样解题》,他确实是有真正的看法。我一直是要求自己写完以后要回顾,要注意看能不能写得更好一点。对老师来说,不是说一个问题你绕了5个圈子解决了,你还要带着人家再要绕5个圈子。即使你自己绕了5个圈子,讲的时候,要让人家少绕圈子这才是好的,所以要注意这个问题,每次都注意做的更好一点。


现在的学生做题很多了,也不一定对他的解题有特别大的帮助。首先现在的学生功利性太强,他不一定是因为喜欢数学而去做题的。

第二,确实是有些人把太难的题目给小孩了,这个不好。包括教材里面也有很多很难的题目,以前教材中的题目难度还比较平稳,偶尔有点难的题放在最后。现在你不知道忽然哪个难题就“锚”在里面,这个很不好。教学时可以补充一点课外题,但是基本上来说不要太难,更不要总是以中考、高考题为目标,我觉得现在有些题是过分难了。一个题目是你自己解出来,还是看了解答之后想出来的,是很不一样的。我们许多人碰到难题,看了解答觉得不难,其实是不恰当的。

 

第三,就是初中教材的要求太低,而课外的题太难。以前是课内外差别不大,课外难一点,但不是难很多,现在差距太大。这也许和现在的课标制定有关。初中课标把几何证明几乎取消了,把几何的表达要素基本上取消了,把三次方公式、十字相乘这些乘法公式基本取消,那等于初中的代数也没有学,所以初中的教材东西就很少。在学校里面没有让学生学,学生跑到外面学,这样就很花时间很花精力。你在学校给他学点儿就好了,他也不累,现在反而造成他负担很重。如果仅仅学在学校教的东西又太少,确实也不行,这是一个大问题。总归教育搞成这样,还是有问题的。从1980年代末以来,教育水平是有所下降。本来1980年代左右还是可以,现在除了应试高考的书基本上也没有什么了。

 

现在的问题就是给数学的负担太重,刚才讲初中教材内容少而空,高中教材的内容却是多而杂。你比如说算法的东西不应该在数学里面,应该是计算机的内容,这个应该把它切掉,把这个切掉以剩下的就少很多。现在学生学的确实比较多比较杂。作为数学本身应该学习的最基本的东西反而不存在了。就像我们学生在学校里面需要把身体锻炼好,你不能让学生既要会踢足球,又要会打篮球,他各个项可以自己去搞,我们教他们把身体基本素质锻炼好,提高基本的反应灵敏度,学一些基本的东西。数学要把自己的体系搞好,现在好多人不承认数学有一个体系,要把体系打掉,非要过度强调应用。数学主要是培养人的思维能力,当然学好数学需要的思维能力也是很强的。


总结数学解题的12条原则:

(1)要享受到解题的乐趣,对解题有浓厚的兴趣,能有几分痴迷更好;

(2)要有充足的信心;

(3)要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力;

(4)要做100道有质量的题目;

(5)反复探索,大胆地跟着感觉走;

(6)从简单的做起;

(7)从不同的角度看问题;

(8)学、思结合,发挥创造性,努力产生“好想法”;

(9)设法创造条件,不断变更问题;

(10)引入适当字母,向基本量靠拢;

(11)力求简单自然,直剖核心;

(12)注意总结。


选自曹一鸣等《与数学家同行》、单墫《解题研究》。

 

(编辑:cug1934)

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