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“集合”教学价值的理性思考

发布时间:2017-07-28 点击数: 字号:- 小 + 大【收藏】【打印文章】

“集合”是近现代数学最基本最重要的内容之一,既是初高中数学衔接的关键点,又对整个高中学习起着奠基的作用.因此,准确把握好“集合”这一章的教学定位和教学价值,就显得尤为重要.

01

让学习过程称为再学习的示范与引领

 “集合”是学生进入高中后最先接触到的学习内容,对学生的认知会产生先入为主的印象,因此,“集合”的概念教学中产生的教学成果(包括显性的知识达成,隐性的思维方式和学习方法等),完全可以在今后的学习中继续使用,即可以用本节课的教学成果,为后续的教学提供素材的支持,思维方式的示范,以及学习方法的引领.

1 “集合的概念认知过程带来的收获

收获1:认知方向

问题链:什么是集合?集合具有什么性质?如何运用集合的概念及性质解决相关问题?

实际上,以上认知流程示范给学生一般的认知方向或规律,即任何新概念(新数学对象)的获得都要经由以下认知方向:对象→属性(特征)→运用.在今后的学习过程中,都将以此展开学习活动与思维活动,并逐步建立起相关概念稳固的知识框架.

收获2:思维方法

在具体实施中,我们可让学生经历以下教学过程:

展示图片让学生观察

蓝蓝的天空,一群鸟欢快飞翔;

茫茫的草原,一群羊悠闲地啃着嫩草;

清清的湖水,一群鱼游来游去……

师:同学们,你们在画面中看到了什么?

学生观察,讨论……

师:同学们说的鸟群,羊群,鱼群……都是同一类对象集中在一起而成的.在小学、初中学习中,我们也遇到过这样的现象:自然数们也是一类对象、有理数们也是一类,当时我们称他们什么呢?

生:自然数集、有理数集.

师:这里用“集合”来描述研究的对象,简洁方便,那“集合”是什么呢?

学生实践活动:让学生自我介绍(包括自己的家庭、原读书学校、现在班级等情况.

师:“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征?

建构出“集合”的概念.

上述过程中,学生经历了“观察——归纳——抽象概括——建构”的思维过程,而这样的思维程式对学生是一次示范,尤其是以此作为一种范式对今后的学习起到可借鉴的操作思维方式.可见,本节课的学习除了知识本身外,更重要的是从中获取了如何学习、如何思维的“大方法”,学生的学习观将潜移默化地改变着.

02

教学逻辑起点的选择决定了思维训练的品质

数学家斯托利亚尔认为,数学活动分为三个阶段:经验材料的数学组织化,数学材料的逻辑组织化,数学理论的应用.由此可见, 教学活动的开展离不开教学起点的选择,尤其是逻辑起点的选择更能将呈现材料进行逻辑组织,并由此训练学生的思维能力.

2  “交集和并集的三种教学方案下的思维训练

设计方案1:(以苏教版教材情境为例)

给出3组具体集合,让学生观察并回答问题:上述每组集合中,ABC之间都具有怎样的关系?

理论建构:交集的定义(三种语言呈现)

再呈现几组具体的集合,让学生类比“交集”概念建构的思维过程(观察——归纳——抽象),得尝试给出“并集”的概念.

本设计方案以学生易于接受的实例为教学起点,通过让学生观察具体集合间的关系,归纳出共性,进而抽象概括出“交集”的概念,并进一步地用已形成的思维操作程式指导“并集”概念的建构.这样的思维过程所承载的思维训练指向是“合情推理”,而且思维活动的开展易于学生操作.

设计方案2

问题1:我们知道,实数有加法运算,类比实数的加法运算,集合是否也有“加法”?

问题2:下列各组集合中,你能说出集合C与集合AB之间的关系吗?(给出2组具体实例)

发现:集合C是所有集合A或集合B中的元素组成的.

理论建构:并集的定义(三种语言)

思考:除集合A与集合B外,AUB中哪个子集“与众不同”?

引入“交集”的概念.

本设计的教学起点是学生已有认知结构中的实数“加法”,将实数“加法”运算视为集合中“并集”运算的先行组织者,这样一来,“集合的运算”的产生便很自然,另外,将“交集”的产生视为建构“并集”概念时的“自然产物”,也是符合逻辑规律的思维结果.由此可见上述设计的思维链:系统间的关系(实数运算与集合运算)→研究对象的建构(“并集”的认知过程)→概念的衍生和“聚焦”研究(交集是并集的子集).思维活动从面到点,按逻辑顺序逐步展开,对学生的思维训练是极其有效的.

设计方案3

问题1:如图2,图中所表示的两个集合AB是什么关系?

问题2:若集合A离家出走,请将出走的过程用图形表示出来.

问题3:你能说出图3阴影部分表示的集合意义吗?

问题4:除此之外,你还能从图3中发现哪些区域也能表示一个集合?

学生活动,获得结论:

①集合A中除集合A和集合B的公共部分之外的部分可以表示一个集合;

②集合B中除集合A和集合B的公共部分之外的部分可以表示一个集合;

③集合A和集合B的公共部分可以表示一个集合;

④集合A和集合B的所有部分可以表示一个集合.

问题5:你能用数学符号表示上面结论中所表示的集合吗?

要用符号表示以上集合,都必须找出一些新符号用以表示集合间公共部分所表示的集合和所有部分表示的集合,由此引出课题.

本设计以已有认知“子集”为教学起点,通过图形语言指出:当集合间不存在包含关系时如何刻画其中的若干集合.思维过程中表现出的思维方向形散而神不散,最终的思维指向仍为教学内容的重点.通过加工已有认知对象,让学生在变化中感受到学习新知的必要性,其思维训练的方向是先放后收,发展了学生的发散性思维和理性思维能力.

由分析可见,不同的逻辑起点决定了不同价值取向的教学设计,其承载的思维训练的品质也不尽相同.

03

重视集合语言表征训练的层次性

 

我们知道,集合语言主要有三种:自然语言,符号语言和图形语言.高一学生刚开始接触“集合”时,往往感觉到很不适应的原因之一就是语言的多样性与灵活性,这就要求我们在教学活动中, 应适时地引导学生对集合语言进行多层次的表征训练.

表征层次1:识别符号

学生在学习“集合”有关概念时会遇到很多抽象的数学符号,而正确理解集合符号语言的前提就是对一系列的集合符号能正确识别,为此,在相关符号教学时应指导学生重视符号的理解性记忆.

案例3.1 常见数集的识别与记忆

符号

意义

来历

N

自然数集

自然数的英文:Natural number,取首写字母.

Z

整数集

整数涉及到一个德国女数学家诺特对环理论的贡献,1921年她写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.其中,诺特在引入整数环概念的时候(整数集本身也是一个数环),由于她是德国人,德语中的整数叫做Zahlen,于是当时她将整数环记作Z,从那时候起整数集就用Z表示了.

Q

有理数集

由于任何一个有理数都是两个整数之比的结果(),而商的英文是Quotient,所以就Q表示有理数集.

R

实数集

实数的英文:Real  number,取首写字母.

从自然数集到实数集,以学生认知“数”的发展顺序来进行理解性记忆的基础,并通过每个数集符号“来历”的解读,尤其是数学文化的加入更增加了学生进行理解记忆的理性特征,加固了记忆效果. 

表征层次2:三种语言形态之间的相互转译

在“集合”教学中,引导学生对各种语言形态进行转译训练是自始至终的教学重点任务, 让学生不断增强数学语言的互化意识,感受到如何借助其他语言将抽象的符号语言明洁化、直观化,如何让自然语言符号化进行简洁的数学表达,并以此准确地认识问题实质,从而解决问题.

案例3.2  一道例题的讲评定位

 

 

评讲定位:如何将符号语言和自然语言进行互译.

 

通过问题链让学生在符号语言和自然语言之间不断地转译,使学生对问题的认识更深刻到位,其中对不同语言的表征也得到了应有的指导与训练.

表征层次3:用图形语言优化思维过程    

图形语言具有直观明了的特点,能帮助我们优化思维过程,缩短思维长度.因此,教师在教学中应注意选材的精准和设计的梯度,让学生感受图形语言的优化思维的功效,并逐步形成自觉运用图形语言进行思考和交流的能力.

案例3.3  苏教版必修1一道习题的变式使用

有题如下:

教材意图是通过实例发现“摩根定律”,并从中体会图形语言的作用,若能充分挖掘图形语言的教学价值,可进行逆向变式:

 

 

我们可以让所有学生展示(暴露)自己的思维过程:有些学生能受刚才启发借用Veen图来解题,既快又准;而有些学生则试图用列举法得到答案,思维混乱,思考时间长.由此,通过学生的实践过程的比较,切身地让学生感受到运用图形语言进行思维时的方便和明洁,自然印象深刻.

 

(编辑:cug1934)

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