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漫话数学抽象  高松富

发布时间:2016-05-18 点击数: 字号:- 小 + 大【收藏】【打印文章】

           

          高松富  

内容概要:抽象是数学的武器,是数学的优势,数学中许多新的概念、新的学科、新的分支的产生,都经过了“抽象分析”的过程,离开了抽象就没有数学。数学抽象由于抽象的对象(概念、模型、理论体系等)和过程的不同,体现出不同的层次性,同时可以帮助学生更好地体会数学的本质,让学生体会到数学抽象能给人以一种崇高的智慧美

关键词:  数学   抽象    感悟   思考

一提起数学抽象,常常会令人不寒而栗,可以说数学抽象被认为是数学最恐怖的一个形象。其实抽象是数学的武器,是数学的优势,数学中许多新的概念、新的学科、新的分支的产生,都经过了“抽象分析”的过程,离开了抽象就没有数学。英国数学家怀特·海德说过:“数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究”。“抽象分析”能给人美感,数学家们在逻辑合理性的基础上,创造出整套数学体系,并从中获得愉悦的感觉,这就是纯粹的数学之美。数学抽象,不仅仅给人美的感受,而且其中包含了巨大的智慧的力量,这种力量又进一步强化了美的感染力。

本文撷取数学史上几则案例和实际生活、教学中案例,漫话数学抽象,以彰显数学抽象的魅力。

一、案例欣赏

案例(一)、大众智力游戏:“算24”

一副扑克,取从A到10四十张牌,分别对应数字1—10,运用四则运算加、减、乘、除,算到结果24,规定每次取四张牌,每张牌当且仅当用一次。摘四组令人费解的组合:(1)5,5,5,1;(2)3,3,7,7;(3)4,4,7,7;(4)3,3,8,8;问每组如何按规则算到24?

     以(1)为例,容易看出,但是只用到三张牌,不符合规则。如果把上式左边,提取因数5,变为,符合规则要求。

再以(4)为例,易知,但是只用到二张牌,考虑到,进一步变式为,又多用了一张牌,受(1)启发,分母提取因数3,且约分,则变式为

,四张牌都用到。

上述例中,巧用了最基本的运算律,即加法交换律:;加法结合律:;乘法交换律:;乘法结合律:乘法分配律:,问题迎刃而解,令人倍感方法之美之妙。

案例(二)、基本运算律与代数学

上述五条运算律最初是人们从具体的自然数的运算中抽象而出,以概括四则运算的规律。没有运算律,我们什么也不能算。用字母表示数,本身就是数学抽象。后来随着数的不断发展,数学家发现这五条基本运算律依然适用整数、有理数、实数、复数、甚至代数式,即运算律式中字母代表任何数或代数式。由这五条基本运算律,加上两条等式基本性质(等式两边同时加上一个数,等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数,等式不变)、三条指数律(同底数幂相乘,底数不变指数相加;指数的乘方等于底数不变指数想乘;积的乘方等于乘方的积),发展构成了全部的初等代数学。

    不仅如此,再后来,代数学研究的对象已不仅是数,还有方程、矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算。(当然,关于数的基本运算定律,有时不再保持有效,如对向量的数量积,乘法结合律不成立。)代数学由初等代数逐步发展到更高级的高等代数、线性代数、抽象代数等。因此说全部的有着严密的理论系统和科学严谨方法的代数学都是建立在抽象的五条基本运算律基础之上。

这里边要突出介绍一下近世代数的诞生。近世代数又称抽象代数,产生于十九世纪,被誉为天才数学家的伽罗瓦(法国1811-1832)是创始人之一,他20岁的时候,因参加法国资产阶级革命运动,曾两次被捕入狱。1832年4月,他出狱不久,便在一次私人决斗中死去,年仅21岁。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运,所以曾连夜给朋友写信,仓促地把自己生平的数学研究扼要写出,并附以论文手稿,14年后才由刘维尔(1809~1882)编辑出版了他的部分文章,并向数学界推荐。随着时间的推移,伽罗华研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识,不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的解的问题,更重要的是他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一,这一理论就是在五条基本运算律的基础之上,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这一高度抽象的理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了巨大的影响。在数学大师们的经典著作中,伽罗华的论文是最薄的,但他的数学思想却是光辉夺目的。

概括地说,近世代数就是应用基本运算律的“律”,在更深奥的、无法体验到的、或和现实比较脱节的结构研究中,创造出完整的新的数学体系。这就是数学抽象的魅力。

案例(三)、哥尼斯堡七桥问题

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡,普雷格尔河静静地穿流过市区,在河两岸及河中两个小岛上建起了一座公园,有七座桥把两个岛与河两岸连接起来(如图)。哥尼斯堡市民热衷于一个有趣的数学游戏:一个游人怎样才能不重复、不遗漏地一次走遍七座桥,最后回到出发点。多少年过去了,答案是什么,谁也说不清。由普通数学知识,七座桥所有的走法一共有5040种,这么多情况要一一试验,将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢?因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

    后来哥尼斯堡市民想到数学家可能会解决这个问题,于是找到大数学家欧拉,欧拉通过对七桥问题的分析,作了三步抽象:1、地图的抽象,问题与事物形态没有关系,重要的是位置关系。把两个岛和河的两岸看作四个点,把七座桥看作这四个点之间的连线,把桥、岛、岸的位置关系抽象成点、线的位置关系,特出问题的本质;2、问题的抽象,即怎样才能不重复、不遗漏地画一条线把图中的点连通起来,转化成一个几何问题(如图)----“一笔画”问题;3、把问题转化为数学方式的叙述:找到可以“一笔画”的充分必要条件。

欧拉的这个考虑非常重要,也非常巧妙,它正表明了数学家处理实际问题的独特之处:把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”,这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论,但想到这一点,却是解决难题的关键。下面简单扼要地介绍欧拉的解决方法:1、根据与点连接的线的条数为奇数或偶数,把点分为两类:奇点和偶点;2、要使“一笔画”成功,除了起点和终点,中途都必须是偶点。3、“一笔画”的充分必要条件:图形必须是连通的,且奇点个数是0或2。由此作出判断:因为“七桥问题”中4个点全是奇点,所以断定图形不能“一笔画”,即不存在不重复地一次走遍所有七座桥。

欧拉通过把一个实际问题抽象成合适的“一笔画”模型,简单而巧妙地解决了哥尼斯堡市民百思不得其解的难题。与此同时,欧拉得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论,人们通常称之为“欧拉定理”。1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文,由此开创了数学的一个新的分支-----图论与拓扑学,展开了数学史上的新进程,让后人不禁惊叹数学抽象的无穷魅力。

二、思考感悟

1、什么是抽象?抽象可以理解为一种脱离表观现实的思维或创作方式,从超越现实的深层次上把握、理解和感受一切。通俗地讲,抽象就是对事物的不同视而不见、混为一谈,然后提取共同,再用到更广泛的不同中去。或者说,明知是不相关的事情,而装作不知道,只注意共同点,即“由聪明而糊涂”后再“自由发挥”。抽象是数学的基本特征,数学本身几乎完全产生于抽象的概念和它们的相互关系之中,并且抽象是逐步提高的,它所达到的抽象程度远胜过一般抽象,其科学创造性也是无可比拟的。

2、数学抽象由于抽象的对象(概念、模型、理论体系等)和过程的不同,体现出不同的层次性,例如自然数、整数、有理数、实数、复数等概念的抽象性,几乎是逐步提高的。一般说来抽象水平越高,反映出人们抽象思维品质也越高,相应的民族文化素质水准也越高。因此,对教师而言,引导并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象,提高他们的思维品质,促进他们智慧发展,发展他们的概括能力、联想能力、建模能力、应用能力、创造能力,是数学教育的重要任务。

3、数学抽象可以帮助学生更好地体会数学的本质,把握数学知识之间的层次性和结构规律,找出数学概念和定理的原型,真正弄懂它们的含义;掌握数学知识的来龙去脉,并洞悉知识形成过程的全貌,这有助于我们了解概念层次结构中各步骤的难易程度,看清概念的结构,从而进一步理解这些数学知识之间的关系及其抽象的过程。数学抽象方法虽然多,但是这些方法实质上都是一种构造活动,是借助于定义和推理进行的逻辑建构,这样的方法使得数学对象能够由内在的思维活动转化为外在的独立存在,从而形成为一种“客观的”知识,以此消除学生对数学知识的神秘感、恐惧感。

4、数学抽象摆脱纷扰,使事物的本质处在一种“纯洁”的气氛中,因此数学抽象能给人以一种崇高的智慧美。只要有心成为彰显数学抽象的威力和魅力的美的播种者,数学抽象美的种子俯拾皆是。限于篇幅,笔者仅举教材中一例,如余弦定理的推导,可以用几何法,或坐标法等,但都须要根据三角形形状分别讨论。而抓住三角形本质----三边首尾相连,由向量知识:,运用公式,将公式中的字母换成向量,应用公式运算的“律”,就有 

,即摆脱图形的“纷扰”,直接得到余弦定理,推导过程简单。数学追求简单,简单就是美。

总而言之,抽象是数学的魅力,教师在教学中要引导学生认识抽象、学会抽象、喜爱抽象,还数学抽象以本来面目,唤起学生对数学抽象美的欣赏,激发学生对数学的爱。

                               

(编辑:cswu)

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